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Questão FC235984

Uma função F(x) é dita a antiderivada da função f(x) no intervalo [a, b] se, para todo ponto do intervalo, F’(x) = f(x). Considere as afirmativas a seguir referentes a uma função e

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

Uma função F(x) é dita a antiderivada da função f(x) no intervalo [a, b] se, para todo ponto do intervalo, F’(x) = f(x).

 

Considere as afirmativas a seguir referentes a uma função e sua antiderivada.

 

I – Existe função que é antiderivada de si mesma.

 

II – Se F1(x) e F2(x) são antiderivadas de f(x) no intervalo [a, b], então F1(x) + F2(x) também é uma antiderivada de f(x) no intervalo [a, b].

 

III – Se F1(x) e F2(x) são antiderivadas de f(x) no intervalo [a, b], então a diferença entre F1(x) e F2(x) é uma constante.

 

Está correto APENAS o que se afirma em

  1. I
  2. II
  3. III
  4. I e III
  5. II e III
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Gabarito

D

Comentário do professor

I – exemplo: existem funções que são antiderivadas de si mesmas. Um caso clássico é \(f(x)=e^x\). Como \( \frac{d}{dx}e^x=e^x\), a função \(F(x)=e^x\) satisfaz \(F'(x)=f(x)\) em qualquer intervalo, logo é sua própria antiderivada.


III – Se \(F_1\) e \(F_2\) são antiderivadas de \(f\) no intervalo, então \(F_1'(x)=f(x)\) e \(F_2'(x)=f(x)\). Daí \((F_1-F_2)'=F_1'-F_2'=0\), isto é, a derivada da diferença é zero, logo \(F_1-F_2\) é uma constante em todo o intervalo. Equivalentemente, escrevendo \(F_1=g+c_1\) e \(F_2=g+c_2\), obtém‑se \(F_1-F_2=c_1-c_2\).

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