Um dos planos do \(\mathbb{R}^2\) paralelo a 2x + 4y + 6z + 5 = 0 e que tangencia a esfera x2 + y2 + z2 – 56 = 0 tem equação

Gabarito

B

Comentário do professor

O plano procurado é paralelo a \(2x+4y+6z+5=0\); portanto mantém o mesmo vetor normal \(\langle2,4,6\rangle\) e tem forma \(2x+4y+6z=d\).

A esfera \(x^2+y^2+z^2-56=0\) tem centro na origem e raio \(r=\sqrt{56}\).

Para que o plano seja tangente à esfera, a distância do centro ao plano deve ser igual ao raio. Assim:

\(\dfrac{|2\cdot0+4\cdot0+6\cdot0+d|}{\sqrt{2^2+4^2+6^2}}=\sqrt{56}\), ou seja \(\dfrac{|d|}{\sqrt{56}}=\sqrt{56}\).

Daí \(|d|=56\), logo \(d=\pm56\). Dividindo por 2, obtemos \(x+2y+3z=\pm28\).

Um dos planos é, portanto, \(x+2y+3z-28=0\), que corresponde à alternativa correta.