Seja \(f: I \mathsf{R} \rightarrow I \mathsf{R}\) definida por \(f(x)= {\begin{cases} x^2,\,se\,x<1\\Ax+B,\,se\,1 \le x < 2\\(x-1)^2+C, \,se\,x \ge 2 \end{cases}}\) Se f é deriváve

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para que \(f\) seja derivável em todo o domínio é preciso, em particular, que seja contínua e que haja igualdade das derivadas nas fronteiras \(x=1\) e \(x=2\).

Na continuidade em \(x=1\) temos \(1^2 = A\cdot1 + B\), logo \(A+B=1\).

Igualando as derivadas em \(x=1\): da esquerda \(f'(x)=2x\) dá \(2\) em \(x=1\), e da direita \(f'(x)=A\); portanto \(A=2\) e, com \(A+B=1\), obtemos \(B=-1\).

Na continuidade em \(x=2\): o trecho linear vale \(2A+B\) e o trecho à direita vale \((2-1)^2+C=1+C\), então \(2A+B=1+C\).

Substituindo \(A=2\) e \(B=-1\) vem \(4-1=1+C\), ou seja \(3=1+C\) e \(C=2\).

Logo \(A+B+C=2-1+2=3\).