Questão FC235993
A famosa sequência de Fibonacci pode ser definida como o sinal x(n), discreto, causal e infinito, cujas primeiras amostras são \({ \begin{cases} x(0) =1,\,\,x(1)=1, \,\,x(2)=2, \,\
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
A famosa sequência de Fibonacci pode ser definida como o sinal x(n), discreto, causal e infinito, cujas primeiras amostras são
\({ \begin{cases} x(0) =1,\,\,x(1)=1, \,\,x(2)=2, \,\,x(3)=3,\,\,x(4)=5,\,\,x(5)=8,\,\,x(6)=13,\,\,... \end{cases}} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x(n)=0\)
para todo \(n < 0\)
A sua lei de formação para \(n \ge 0\) pode ser expressa como x(n + 2) = x(n + 1) + x(n). Aplicando a Transformada Z no sinal x(n), resulta a expressão
-
\(X(z)= \large { 1 \over z^2 -z +1}\)
-
\(X(z)= \large { 1 \over z^2 -z -1}\)
-
\(X(z)= \large { z \over z^2 -z -1}\)
-
\(X(z)= \large { z^2 \over z^2 -z +1}\)
-
\(X(z)= \large { z^2 \over z^2 -z -1}\)
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Aplicando a Transformada Z à recorrência \(x(n+2)=x(n+1)+x(n)\) usamos a propriedade da translação: \( \mathcal{Z}\{x(n+k)\}=z^k\Big[X(z)-\sum_{m=0}^{k-1}x(m)z^{-m}\Big]\).
Para \(k=1\) e \(k=2\) obtemos
\(\mathcal{Z}\{x(n+1)\}=z\big[X(z)-x(0)\big]\)
\(\mathcal{Z}\{x(n+2)\}=z^2\big[X(z)-x(0)-x(1)z^{-1}\big]\).
Substituindo na equação da recorrência e usando \(x(0)=1,\;x(1)=1\):
\(z^2\big[X(z)-1-z^{-1}\big]=z\big[X(z)-1\big]+X(z).\)
Multiplicando e agrupando termos em \(X(z)\):
\(z^2X(z)-z^2=zX(z)-z+X(z)\Rightarrow X(z)(z^2-z-1)=z^2.\)
Daí segue o resultado: \(X(z)=\dfrac{z^2}{z^2-z-1}\), que é a expressão buscada.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em