Questão FC235994
Seja \(T: R^2 \rightarrow R^2\) uma transformação linear definida por \(T (x,y) = \large {1 \over 2} { \begin{bmatrix} \sqrt{3}\,\,-1\\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sqrt{3} \end{bmatrix}}
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Seja \(T: R^2 \rightarrow R^2\) uma transformação linear definida por \(T (x,y) = \large {1 \over 2} { \begin{bmatrix} \sqrt{3}\,\,-1\\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sqrt{3} \end{bmatrix}} . { \begin{bmatrix} X\\y \end{bmatrix}}\).
Considere que T seja aplicada às coordenadas (x,y) dos vértices m, n, q e p, do quadrado mostrado na figura acima, gerando os respectivos pontos m’, n’, q’ e p’. O novo quadrado formado pelos novos pontos m’, n’, q’ e p’, é
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Gabarito
B
Comentário do professor
A matriz pode ser escrita como \( \begin{bmatrix}\tfrac{\sqrt3}{2}&-\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}&\tfrac{\sqrt3}{2}\end{bmatrix}\), ou seja, uma matriz de rotação.
Comparando com \( \begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\[2pt]\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\) temos \(\cos\theta=\tfrac{\sqrt3}{2}\) e \(\sin\theta=\tfrac{1}{2}\), portanto \(\theta=\) 30° no sentido anti‑horário. θ = 30°.
Uma rotação preserva comprimentos e ângulos, logo um quadrado é levado a um quadrado congruente apenas girado em torno da origem. Preserva forma e tamanho.
Por exemplo, o vértice \((3,0)\) transforma‑se em \( \big(\tfrac{3\sqrt3}{2},\tfrac{3}{2}\big)\), mostrando o deslocamento típico de uma rotação de 30° para cima e à direita.
Assim, a figura obtida é o quadrado original girado 30° anti‑horário, correspondendo à alternativa indicada.
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