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Questão FC235995

Sejam \(T_1: R^3 \rightarrow R^2\)e \(T_2: R^2 \rightarrow R^4\) transformações lineares, em que \(T_1= { \begin{bmatrix} 1\,\,0\,\,1\\0\,\,1\,\,0 \end{bmatrix}}\) e \(T_2= { \begi

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2011

Sejam \(T_1: R^3 \rightarrow R^2\)e \(T_2: R^2 \rightarrow R^4\) transformações lineares, em que \(T_1= { \begin{bmatrix} 1\,\,0\,\,1\\0\,\,1\,\,0 \end{bmatrix}}\) e \(T_2= { \begin{bmatrix} 0\,\,1\\1\,\,3\\1\,\,0\\0\,\,2 \end{bmatrix}}\). A matriz que representa a transformação linear, que é composição de T1 e T2, é

  1. \({ \begin{bmatrix} 0\,\,1\,\,1\,\,0\\1\,\,3\,\,0\,\,2\\0\,\,1\,\,1\,\,0 \end{bmatrix}}\)

  2. \({ \begin{bmatrix} 0\,\,1\,\,1\,\,2\\1\,\,3\,\,0\,\,2\\0\,\,3\,\,1\,\,0 \end{bmatrix}}\)

  3. \({ \begin{bmatrix} 0\,\,1\,\,0\\1\,\,3\,\,1\\1\,\,0\,\,1\\0\,\,2\,\,0 \end{bmatrix}}\)

  4. \({ \begin{bmatrix} 0\,\,1\,\,0\\1\,\,2\,\,1\\1\,\,1\,\,1\\0\,\,3\,\,1 \end{bmatrix}}\)

  5. \({ \begin{bmatrix} 0\,\,1\,\,0\\3\,\,3\,\,1\\1\,\,0\,\,1\\0\,\,2\,\,2 \end{bmatrix}}\)

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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Queremos a matriz de \(T_2\circ T_1\), isto é, aplicar primeiro \(T_1:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) e depois \(T_2:\mathbb R^2\to\mathbb R^4\).

Calculando \(T_1\): \(T_1(x,y,z)=(x+z,y)\).
Calculando \(T_2\): \(T_2(u,v)=(v,\;u+3v,\;u,\;2v)\).

Logo, a composição é \((T_2\circ T_1)(x,y,z)=T_2(x+z,y)=(y,\;x+z+3y,\;x+z,\;2y)\).

Na forma matricial, cada coluna da matriz composta é a imagem dos vetores canônicos de \(\mathbb R^3\). Para \(e_1=(1,0,0)\) e \(e_3=(0,0,1)\) temos \(T_1(e_1)=T_1(e_3)=(1,0)\) que \(T_2\) envia em \((0,1,1,0)\). Para \(e_2=(0,1,0)\) temos \(T_1(e_2)=(0,1)\) que \(T_2\) envia em \((1,3,0,2)\).

Assim a matriz de \(T_2\circ T_1\) é \(\begin{bmatrix}0&1&0\\1&3&1\\1&0&1\\0&2&0\end{bmatrix}\), correspondente à alternativa correta.

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