Qual é o valor da área da figura (A) limitada pela curva do gráfico de f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = 1 e x = 3?

Gabarito

D

Comentário do professor

A área pedida corresponde à integral definida \( \int_{1}^{3} \frac{3x^2}{x^3+1}\,dx\), pois a região é limitada pela curva, o eixo \(x\) e as retas \(x=1\) e \(x=3\).

Fazemos a substituição \(u=x^3+1\), de modo que \(du=3x^2\,dx\). Assim a integral transforma-se em \( \int_{u(1)}^{u(3)} \frac{du}{u}\), com \(u(1)=2\) e \(u(3)=28\).

Integrando, obtemos \( \ln|u|\Big|_{2}^{28}=\ln(28)-\ln(2)=\ln\!\left(\frac{28}{2}\right)=\ln(14)\).

Portanto, o resultado da área é \( \ln(14)\), confirmando a alternativa correta.