Qual é a equação da reta tangente ao gráfico da função, no ponto (e,e)?

Gabarito

A

Comentário do professor

Calculamos a derivada de \(f(x)=x\ln x\) aplicando a regra do produto: se \(u=x\) e \(v=\ln x\), então \(f'(x)=u'v+uv' = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1\).

Avaliando em \(x=e\), usando \(\ln e=1\), obtemos \(f'(e)=1+1=2\). Portanto, o coeficiente angular da reta tangente em \((e,e)\) é 2.

Usando a forma ponto‑inclinação da reta tangente: \(y-y_0=m(x-x_0)\) com \((x_0,y_0)=(e,e)\) e \(m=2\), temos \(y-e=2(x-e)\).

Desenvolvendo: \(y-e=2x-2e\), logo \(y=2x-e\). Assim, a equação da reta tangente no ponto \((e,e)\) é \(y=2x-e\).