Questão FC236002
Dentre os gráficos abaixo, qual o que melhor se aproxima do gráfico da função \(f(t)\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Seja \(f:[0,+∞) \to \mathbb{R}\) uma função, seccionalmente contínua e de ordem exponencial, cuja Transformada de Laplace é \(F(s)=\int\limits_{0}^{+∞}\, e^{-st}\cdot f(t)dt={\large{e^{-s} \over s^2}}\), para \(s > 0\).
Dentre os gráficos abaixo, qual o que melhor se aproxima do gráfico da função \(f(t)\)?
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A transformada dada é \(F(s)=\dfrac{e^{-s}}{s^2}\). Sabemos que \(\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2}\}=t\,u(t)\), uma rampa de inclinação 1 a partir de 0.
Pelo teorema do deslocamento no tempo, multiplicar por \(e^{-as}\) corresponde a deslocar a função no tempo em \(a\): \(\mathcal{L}^{-1}\{G(s)e^{-as}\}=g(t-a)u(t-a)\).
Aplicando com \(a=1\), obtemos \(f(t)= (t-1)\,u(t-1)\). Ou seja, a função é uma rampa deslocada que vale 0 para \(t<1\) e cresce linearmente com inclinação 1 a partir de \(t=1\), assumindo valor 0 em \(t=1\).
Portanto, o gráfico que melhor representa \(f(t)\) é o da rampa iniciando em \(t=1\) com inclinação 1 (alternativa C).
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