A função \(f:[0,+∞) \to \mathbb{R}\) é definida por \(f(t)=e^{2t} \sin(3t)\). Se \(F(s)=\int\limits_{0}^{+∞}\, e^{-st} f(t) dt\) é a Transformada de Laplace da função f, então, par

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Temos \(f(t)=e^{2t}\sin(3t)\) e queremos a Transformada de Laplace \(F(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt\).

A transformada de \(\sin(at)\) é \(\displaystyle \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\dfrac{a}{s^2+a^2}\). Aplicando com \(a=3\) obtemos \(\displaystyle G(s)=\dfrac{3}{s^2+9}\).

Pela propriedade do deslocamento na frequência, \(\mathcal{L}\{e^{ct}g(t)\}=G(s-c)\). Aqui \(c=2\), então substituímos \(s\) por \(s-2\).

Assim \(F(s)=\dfrac{3}{(s-2)^2+9}\). Desenvolvendo o quadrado: \((s-2)^2+9=s^2-4s+13\), logo

Resultado: \(F(s)=\dfrac{3}{s^2-4s+13}\).
Região de convergência: \(\operatorname{Re}(s)>2\).