Se y(x) é a solução do problema de valor inicial \(\begin{cases} {\large{dy \over dx}}=x^2 y^2 \\ y(0)=1\end{cases},\) qual é o valor de \(y(1)\)?

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Começamos por separar variáveis na EDO \( \dfrac{dy}{dx}=x^2y^2\): \( \dfrac{dy}{y^2}=x^2\,dx\).

Agora integramos ambos os lados: \( \int y^{-2}dy=\int x^2dx\), o que dá \( -\dfrac{1}{y}=\dfrac{x^3}{3}+C\).

Usando a condição inicial \(y(0)=1\) obtemos \( -1=C\). Assim \( -\dfrac{1}{y}=\dfrac{x^3}{3}-1\), ou \( \dfrac{1}{y}=1-\dfrac{x^3}{3}\).

Finalmente, avaliando em \(x=1\): \( y(1)=\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2/3}=\dfrac{3}{2}\).

Portanto, a solução do PVI em \(x=1\) é \(y(1)=\tfrac{3}{2}\).