Questão FC236006
Sendo \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) definida por \(f(x,y)=\large{x^2 \over x^2+y^2-x}\), o limite \(\lim_{(x,y) \to (0,0)}\) \(f(x,y)\) existe é igual a zero. PORQUE Ao se con
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Sendo \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) definida por \(f(x,y)=\large{x^2 \over x^2+y^2-x}\), o limite \(\lim_{(x,y) \to (0,0)}\) \(f(x,y)\) existe é igual a zero.
PORQUE
Ao se considerar \((x,y) \to (0,0)\) sobre as retas \(y=a.x(a \, ∈ \, \mathbb{R})\), obtém-se \(\lim_{x \to 0}{\large{x^2 \over x^2+(ax)^2-x}}=0\), \(∀ a ∈\mathbb{R}\).
Analisando-se as afirmações acima, conclui-se que
- as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
- as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
- a primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
- a primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
- as duas afirmações são falsas.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
D
Comentário do professor
A alternativa D está correta: a primeira afirmação é falsa e a segunda é verdadeira.
Para as retas \(y=ax\) substituímos em \(f\): \(f(x,ax)=\dfrac{x^2}{(1+a^2)x^2-x}=\dfrac{1}{1+a^2-\tfrac{1}{x}}\). À medida que \(x\to0\) o termo \(\tfrac{1}{x}\) diverge, portanto o denominador tem módulo crescente e \(f(x,ax)\to0\). Assim, a segunda afirmação é verdadeira.
Para mostrar que o limite geral não existe (primeira afirmação falsa) basta um contraexemplo: pelo caminho \(x=y^2\) temos \(f(y^2,y)=\dfrac{(y^2)^2}{(y^2)^2+y^2-y^2}=\dfrac{y^4}{y^4}=1\). Logo o limite ao longo desse caminho é 1, distinto de 0, implicando que \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\) não existe.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em