Qual é o valor mínimo assumido pela função \(f: \mathbb{R}^*_+ \to \mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^2 In(x)\)?

Gabarito

D

Comentário do professor

Calculamos a derivada de \(f(x)=x^2\ln x\): \(f'(x)=2x\ln x + x = x(2\ln x +1)\).

Igualando a zero, \(x(2\ln x +1)=0\). Como \(x>0\), vem \(2\ln x +1=0\Rightarrow \ln x=-\tfrac12\), ou seja \(x=e^{-1/2}=\tfrac{1}{\sqrt e}\). Esse é o ponto crítico.

Avalia-se \(f\) nele: \(f(e^{-1/2})=(e^{-1/2})^2\ln(e^{-1/2})=\tfrac{1}{e}\cdot\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{1}{2e}\).

Para confirmar ser mínimo, calcule \(f''(x)=2\ln x +3\). Em \(x=e^{-1/2}\) temos \(f''=2(-\tfrac12)+3=2>0\), ou seja, mínimo local.

Como \(\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0\) e \(\lim_{x\to\infty}x^2\ln x=+\infty\), esse mínimo local é o mínimo global no domínio \(\mathbb{R}_+^*\).

Portanto, o valor mínimo de \(f\) é \(\boxed{-\tfrac{1}{2e}}\).