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Questão FC236008

No Plano Cartesiano, seja \(\alpha\) a curva formada pelos pontos \((x,y)\) cujas coordenadas satisfazem a equação \(x^2 + xy + y^2 = 3\). Então, são paralelas ao eixo das ordenada

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2011

No Plano Cartesiano, seja \(\alpha\) a curva formada pelos pontos \((x,y)\) cujas coordenadas satisfazem a equação \(x^2 + xy + y^2 = 3\). Então, são paralelas ao eixo das ordenadas as retas tangentes à curva \(\alpha\) nos pontos

  1. \((2, −1)\) e \((−2, 1)\)
  2.  \((−1, 2)\) e \((1, −2)\)
  3.  \((−1, −1)\) e \((1, 1)\)
  4.  \((0, \sqrt 3)\) e \((0,- \sqrt 3)\)
  5.  \(( \sqrt 3 ,0)\) e \((- \sqrt 3,0)\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Para que a reta tangente seja paralela ao eixo das ordenadas ela deve ser vertical; isso ocorre quando \(dy/dx\) é indefinido, ou seja, quando \(dx/dy=0\).

Fazendo a derivação implícita da curva \(x^2+xy+y^2=3\) em relação a \(y\) obtemos: \(2x\,x'+(x'y+x)+2y=0\), onde \(x'=dx/dy\). Agrupando termos: \(x'(2x+y)+x+2y=0\), então \(x'=-\dfrac{x+2y}{2x+y}\).

Impondo \(x'=0\) (verticalidade) tem-se \(x+2y=0\), ou \(x=-2y\). Substituindo na curva: \((-2y)^2+(-2y)y+y^2=3\) → \(3y^2=3\) → \(y=\pm1\).

Assim os pontos são \((-2(1),1)=(-2,1)\) e \((-2(-1),-1)=(2,-1)\), correspondendo à alternativa correta.

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