Questão FC236009
Dada uma função \(f: \mathbb{R} \to\) diferenciável, a função \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definida por \(g(x)= \left\vert f(x) \right\vert\), pode não ser diferenciável em al
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Dada uma função \(f: \mathbb{R} \to\) diferenciável, a função \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definida por \(g(x)= \left\vert f(x) \right\vert\), pode não ser diferenciável em alguns pontos de seu domínio. Por exemplo, se considerarmos \(f(x)={\large{1 \over 8}} \cdot (x^4+x^3-8x^2-12x)\), cujo gráfico é parcialmente representado na figura acima, então a função \(g(x)= \left\vert f(x) \right\vert\) NÃO será diferenciável em, exatamente,
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Gabarito
B
Comentário do professor
A função considerada é \(g(x)=|f(x)|\). Em geral, \(g\) pode falhar em ser diferenciável nos pontos onde \(f(x)=0\) e há mudança de sinal de \(f\), pois o valor absoluto cria uma quina (canto) no gráfico.
Matematicamente, se em \(x_0\) tivermos \(f(x_0)=0\) e \(f'(x_0)\neq 0\), então as derivadas laterais de \(g\) são opostas e a derivada não existe. Se \(f'(x_0)=0\) (toque tangente), \(g\) pode ser diferenciável.
No gráfico dado, \(f\) é negativa no intervalo entre \(x=0\) e \(x=3\) e cruza o eixo exatamente em \(x=0\) e \(x=3\). Nessas duas interseções há mudança de sinal e \(f'\neq 0\), formando quinas em \(g\).
Portanto, \(g(x)=|f(x)|\) não é diferenciável em exatamente 2 pontos — resposta: Alternativa B.
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