Questão FC236012
Qual é a área da região A, limitada pelo gráfico da função f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = a e x = b, em destaque na figura?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
A figura acima mostra, parcialmente, o gráfico da função \(f: \mathbb{R}^*_+ \to \mathbb{R}\), definida por \(f(x)= \large{2 \over x}\).
Qual é a área da região A, limitada pelo gráfico da função f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = a e x = b, em destaque na figura?
- \(2 \, In (b-a)\)
- \(In (b^2-a^2)\)
- \(\log_2 \left( \large{b \over a} \right)\)
- \(In \left( \large{2b \over a} \right)\)
- \(In \left( \large{b^2 \over a^2} \right)\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A área pedida é obtida pela integral da função entre \(x=a\) e \(x=b\):
\(A=\int_a^b \dfrac{2}{x}\,dx\)
Retirando a constante: \(A=2\int_a^b \dfrac{1}{x}\,dx\). A primitiva de \(\dfrac{1}{x}\) é \(\ln|x|\), mas como o domínio é \(\mathbb{R}_+^*\) usamos \(\ln x\).
Logo: \(A=2\big(\ln b-\ln a\big)=2\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)\).
Aplicando as propriedades dos logaritmos (constante como expoente e diferença como razão) obtemos
\(A=\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)^2=\ln\!\left(\dfrac{b^2}{a^2}\right)\), que é a expressão correta.
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