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Questão FC236013

Uma função \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), infinitamente diferenciável, é tal que \(\left\vert f(x) \right\vert \le x^4\), \(∀x \, ∈\mathbb{R}\). Acerca da função f, analise as a

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2011

Uma função \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), infinitamente diferenciável, é tal que \(\left\vert f(x) \right\vert \le x^4\), \(∀x \, ∈\mathbb{R}\).

 

Acerca da função f, analise as afirmações a seguir.

 

I - Tem-se \(\left\vert f'(x) \right\vert \le 4x^3\), \(∀x \, ∈\mathbb{R}\)

 

II - Tem-se \(f(0)=f'(0)=f''(0)=0\).

 

III - O limite \(\textstyle \lim_{x \to \infty}\, \large{f(x) \over x^4}\) existe.

 

É correto APENAS o que se afirma em

  1. I
  2. II
  3. III
  4. I e II
  5. II e III
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Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos demonstrar exclusivamente a afirmação II.

De \( |f(x)|\le x^4\) segue, para \(x=0\), que \( |f(0)|\le0\), logo \(f(0)=0\).

Para a primeira derivada, \(f'(0)=\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}\). Como \(\left|\dfrac{f(x)}{x}\right|\le x^3\) e \(x^3\to0\), obtemos \(f'(0)=0\).

Para a segunda derivada use-se a expansão de Taylor (ordem 2), válida pois \(f\) é \(C^\infty\): \(f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)\). Com \(f(0)=f'(0)=0\) tem-se \(f(x)=\dfrac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)\). Dividindo por \(x^2\) e usando \(|f(x)|\le x^4\) resulta \(\dfrac{|f''(0)|}{2}+o(1)\le x^2\), e fazendo \(x\to0\) conclui-se \(f''(0)=0\).

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