Considere a função real de variável real \(y=e^x.In(x)\), na qual \(x>0\) e \(In(x)\) é o logaritmo neperiano de x. A função derivada \(\large{dy \over dx}\) é

Gabarito

D

Comentário do professor

Temos a função \(y=e^x\ln(x)\) e o objetivo é calcular sua derivada \(dy/dx\) para \(x>0\).

Trata-se do produto de duas funções, portanto aplicamos a regra do produto: \( (uv)'=u'v+uv'\).

Escolhendo \(u=e^x\) e \(v=\ln(x)\), obtemos \(y'=(e^x)'\ln(x)+e^x(\ln(x))'\).

Como \((e^x)'=e^x\) e \((\ln(x))'=1/x\), substituímos e simplificamos: \(y'=e^x\ln(x)+e^x\cdot\dfrac{1}{x}.\)

Colocando \(e^x\) em evidência resulta em \(y'=e^x\big(\ln(x)+\dfrac{1}{x}\big)\), que é a resposta correta.