Seja D o operador diferencial tal que \(Dy=\large{dy \over dx}\). O operador diferencial linear equivalente ao produto (xD + 3)(2xD + 1) é

Gabarito

A

Comentário do professor

Expandindo o produto operatório temos \( (xD+3)(2xD+1)=2xD(xD)+xD+6xD+3\).

Note que \(D\) é derivação; ao avaliar \(xD(xD)\) usamos a regra do produto sobre \(x\cdot (D\,y)\):

\(xD(xD)\,y = x\frac{d}{dx}\big(x\frac{dy}{dx}\big)=x\Big(\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2y}{dx^2}\Big)=x\frac{dy}{dx}+x^2\frac{d^2y}{dx^2}.\)

Como operador, \(xD(xD)=xD+x^2D^2\). Multiplicando por 2 e somando os termos restantes obtemos

\(2x^2D^2+2xD+7xD+3 = 2x^2D^2+9xD+3\).

Portanto, o operador equivalente é \(2x^2D^2+9xD+3\) .