Considere a transformação linear \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) tal que T(1, 0) = (–1, 1) e T(0, 1) = (3, 2). Sendo \(λ_1\) e \(λ_2\) os autovalores de T, \(λ_1\) e \(λ_2\) r

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Sabendo que \(T(1,0)=(-1,1)\) e \(T(0,1)=(3,2)\), os vetores da base canônica geram a matriz de \(T\): \(A=\begin{pmatrix}-1&1\\3&2\end{pmatrix}\).

Os autovalores são raízes do polinômio característico \( \det(A-\lambda I)=0\). Calculando: \(\det\begin{pmatrix}-1-\lambda&1\\3&2-\lambda\end{pmatrix}=(-1-\lambda)(2-\lambda)-3=\lambda^2-\lambda-5.\)

Assim, \(\lambda\) satisfaz \(\lambda^2-\lambda-5=0\). O discriminante é \(\Delta=1+20=21\), logo

\(\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{21}}{2}\), com \(\lambda_1>\lambda_2\).

Portanto a diferença é

\(\lambda_1-\lambda_2=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}-\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}=\dfrac{2\sqrt{21}}{2}=\sqrt{21}.\)