A função real F de variável real é tal que \(F(x)= ∫ e^{3x+1}dx\) e \(F(0)=e\). Outra forma de apresentar a função F é

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Começamos calculando a integral \(F(x)=\int e^{3x+1}\,dx\). Por meio da substituição \(u=3x+1\), temos \(du=3\,dx\) e a integral vira \(\tfrac{1}{3}\int e^u\,du=\tfrac{1}{3}e^u+C\).

Voltando a \(x\): \(F(x)=\tfrac{1}{3}e^{3x+1}+C\).

Usando a condição inicial \(F(0)=e\), obtemos \(\tfrac{1}{3}e^{1}+C=e\), portanto \(C=e-\tfrac{e}{3}=\tfrac{2e}{3}\).

Substituindo \(C\) em \(F(x)\) resulta \(F(x)=\tfrac{1}{3}e^{3x+1}+\tfrac{2e}{3}\). Finalmente, fatorando \(\tfrac{e}{3}\) obtemos \(F(x)=\tfrac{e}{3}\bigl(e^{3x}+2\bigr)\), que é a forma apresentada na alternativa correta.