Sejam u e v vetores de \(\mathbb{R}^3\) cujos módulos são, respectivamente, 3 e 1 e que formam entre si um ângulo \(θ\) tal que \(\cos θ=\large{-2 \over 3}\). O módulo do vetor 2u

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Temos os vetores u e v com \(|u|=3\), \(|v|=1\) e \(\cos\theta=-\tfrac{2}{3}\). Queremos o módulo de \(2u-3v\), que pode ser visto como \(2u+(-3v)\).

Usamos a relação \(|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2\,a\cdot b\) e o fato de que o produto escalar satisfaz \(a\cdot b=|a||b|\cos\phi\), onde \(\phi\) é o ângulo entre os vetores. Aqui \(|2u|=6\) e \(|-3v|=3\).

O ângulo entre \(2u\) e \(-3v\) é \(\pi-\theta\), logo \(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta=2/3\). Assim

\(|2u-3v|^2=6^2+3^2+2\cdot6\cdot3\cdot\frac{2}{3}=36+9+24=69\).

Portanto \(|2u-3v|=\sqrt{69}\).