Considere a transformação linear \(T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) tal que T(1, 0) = (–1, 1) e T(0, 1) = (3, 2). Sendo \(λ_1\) e \(λ_2\) os autovaloresde T, \(λ_1\) e \(λ_2\) rea

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Da transformação linear dada em que \(T(1,0)=(-1,1)\) e \(T(0,1)=(3,2)\), os vetores formam a base canônica, então a matriz de \(T\) é \(A=\begin{pmatrix}-1&1\\3&2\end{pmatrix}\).

Os autovalores satisfazem \(\det(A-\lambda I)=0\). Calculando:\br \(\det\begin{pmatrix}-1-\lambda&1\\3&2-\lambda\end{pmatrix}=(-1-\lambda)(2-\lambda)-3=\lambda^2-\lambda-5=0\).

O discriminante é \(\Delta=b^2-4ac=1+20=21\). Assim \(\lambda=\dfrac{1\pm\sqrt{21}}{2}\).

Tomando \(\lambda_1=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}\) e \(\lambda_2=\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}\), temos\br \(\lambda_1-\lambda_2=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}-\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}=\sqrt{21}.\)

Portanto, o valor pedido é \(\sqrt{21}\).