Uma indústria deseja fabricar um tambor fechado na forma de um cilindro circular reto. Se a área total da superfície do tambor é fixada em 36\(\pi\) dm2, o volume máximo que esse t

Gabarito

A

Comentário do professor

Temos a área total do tambor (cilindro fechado) dada por \(A_t=36\pi\) e a fórmula do cilindro: \(A_t=2\pi r^2+2\pi r h\).

Logo, \(36\pi=2\pi(r^2+rh)\), isto é \(18=r^2+rh\), de onde \(h=\dfrac{18-r^2}{r}\).

O volume é \(V=\pi r^2 h\). Substituindo \(h\) obtemos \(V=\pi r(18-r^2)=18\pi r-\pi r^3\).

Para maximizar, derivamos: \(V'=18\pi-3\pi r^2\). Igualando a zero vem \(r^2=6\), então \(r=\sqrt6\) (raio positivo).

Como \(V''=-6\pi r<0\) em \(r=\sqrt6\), trata‑se de um máximo. Substituindo no volume: \(V=\pi\sqrt6(18-6)=12\pi\sqrt6\).