Questão FC236029
O polinômio de Taylor de 2o grau, centrado em \(a=\large{ \pi \over 2}\), que aproxima a função \(f(x)=\sin(x)\) é
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
O polinômio de Taylor de 2o grau, centrado em \(a=\large{ \pi \over 2}\), que aproxima a função \(f(x)=\sin(x)\) é
- \(1+ \left( x-{\large{ \pi \over 2}} \right)-{\large{1 \over 2}} \left( x- {\large{\pi \over 2}} \right)^2\)
- \(1+ \left( x-{\large{ \pi \over 2}} \right)+{\large{1 \over 2}} \left( x- {\large{\pi \over 2}} \right)^2\)
- \(1- \left( x-{\large{ \pi \over 2}} \right)-{\large{1 \over 2}} \left( x- {\large{\pi \over 2}} \right)^2\)
- \(1-{\large{1 \over 2}} \left(x-{\large{\pi \over 2}} \right)^2\)
- \(1+{\large{1 \over 2}} \left(x-{\large{\pi \over 2}} \right)^2\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
O polinômio de Taylor de grau 2 centrado em \(a=\pi/2\) para \(f(x)=\sin(x)\) é obtido por \(f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2\).
Calcule as derivadas: \(f(x)=\sin x\), \(f'(x)=\cos x\), \(f''(x)=-\sin x\).
Avalie em \(a=\pi/2\): \(f(\pi/2)=1\), \(f'(\pi/2)=0\), \(f''(\pi/2)=-1\).
Substituindo na fórmula do polinômio de segundo grau obtemos \(1+0\cdot(x-\pi/2)+\dfrac{-1}{2}(x-\pi/2)^2\).
Portanto a aproximação é \(1-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^2\), que corresponde à letra correta.
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