A derivada da função \(f(x,y)=2xy^3-3x^2y\) no ponto (-1,2) na direção do vetor v=(1,-1) é

Gabarito

A

Comentário do professor

A derivada direcional em uma direção é dada pelo produto entre o gradiente e o vetor unitário dessa direção.

Calcule o gradiente de \(f(x,y)=2xy^3-3x^2y\): \(\nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y)=(2y^3-6xy,\;6xy^2-3x^2)\).

Avalie em \((-1,2)\): \(\nabla f(-1,2)=(2\cdot8-6\cdot(-1)\cdot2,\;6\cdot(-1)\cdot4-3\cdot1)=(28,-27)\).

O vetor direção é \(v=(1,-1)\). Seu módulo é \(|v|=\sqrt{1+1}=\sqrt2\), logo o vetor unitário é \(u=\frac{(1,-1)}{\sqrt2}\).

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar: \(\nabla f(-1,2)\cdot u=\frac{28}{\sqrt2}+\frac{27}{\sqrt2}=\frac{55}{\sqrt2}\).