Seja \(F=(xz,yz,-x^2)\) um campo vetorial em \(\mathbb{R}^3\). Analise as declarações a seguir sobre o divergente e o rotacional de F: I) rot F = (–y, 3x, 0) II) div F = 2z III) ro

Gabarito

B

Comentário do professor

Tomando \(F=(P,Q,R)=(xz,yz,-x^2)\), aplicamos as definições de rotacional e divergente.

O rotacional é \( \nabla\times F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\). Calculando as derivadas: \(\partial R/\partial y=0\), \(\partial Q/\partial z=y\) → 1ª componente = \(-y\); \(\partial P/\partial z=x\), \(\partial R/\partial x=-2x\) → 2ª = \(x-(-2x)=3x\); \(\partial Q/\partial x=0\), \(\partial P/\partial y=0\) → 3ª = \(0\). Logo \( \nabla\times F =(-y,3x,0)\).

O divergente é \( \nabla\cdot F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\). Temos \(\partial P/\partial x=z\), \(\partial Q/\partial y=z\), \(\partial R/\partial z=0\), portanto \( \nabla\cdot F=2z\).

Conclui‑se que as afirmações I e II são corretas.