Sendo \(\delta(t)\) a função delta de Dirac, o valor de \(\textstyle \int_{-∞}^{∞} \, 3e^{-t+2}\delta(t-2)dt\) é

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A função delta de Dirac concentra toda a massa no ponto onde seu argumento é zero; por isso tem a propriedade de amostragem \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t-a)\,dt = f(a)\), desde que \(f\) seja contínua em \(a\).

No integrando há um fator constante 3 e a função \(f(t)=e^{-t+2}\). Aplicando a propriedade com \(a=2\), obtemos \(3\cdot f(2)\).

Avalie \(f(2)=e^{-2+2}=e^{0}=1\). Portanto o valor da integral é \(3\cdot 1=3\).

Em resumo: a delta seleciona o valor de \(3e^{-t+2}\) em \(t=2\), resultando em 3.