Questão FC236033
A expansão em série de Fourier da função real \(f(x)= \begin{cases}0, & - \pi < x < 0 \\ {\large{1 \over 2}}, & 0< x< \pi \end{cases}\), \(f(x+2 \pi)=f(x)\), para todo \(x ≠ k \pi\
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
A expansão em série de Fourier da função real \(f(x)= \begin{cases}0, & - \pi < x < 0 \\ {\large{1 \over 2}}, & 0< x< \pi \end{cases}\), \(f(x+2 \pi)=f(x)\), para todo \(x ≠ k \pi\), \(k ∈ \mathbb{Z}\), é
- \({\large{1 \over 2}}+{\large{2 \over \pi}} \left[ \sin(x)+{\large{\cos(3x) \over 3}}+{\large{ \sin(5x) \over 5}}+{\large{ \cos(7x) \over 7}}+... \right]\)
- \({\large{1 \over 2}}+{\large{2 \over \pi}} \left[ \sin(x)-{\large{\sin(3x) \over 3}}+{\large{ \sin(5x) \over 5}}+{\large{ \sin(7x) \over 7}}+... \right]\)
- \({\large{1 \over 2}}+{\large{1 \over \pi}} \left[ \cos(x)-{\large{\cos(3x) \over 3}}+{\large{ \cos(5x) \over 5}}-{\large{ \cos(7x) \over 7}}+... \right]\)
- \({\large{1 \over 4}}+{\large{1 \over \pi}}\left[ \cos(x)+{\large{\cos(3x) \over 3}}+{\large{\cos(5x) \over 5}}+{\large{\cos(7x) \over 7}}+ ... \right]\)
- \({\large{1 \over 4}}+{\large{1 \over \pi}}\left[\sin(x)+{\large{\sin(3x) \over 3}}+{\large{\sin(5x) \over 5}}+{\large{\sin(7x) \over 7}}+... \right]\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A função é \(2\pi\)-periódica com \(f(x)=0\) em \((-\pi,0)\) e \(f(x)=\tfrac12\) em \((0,\pi)\). Para a série de Fourier calculamos os coeficientes \(a_0,a_n,b_n\).
\(a_0\): \(a_0=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx=\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\tfrac12\,dx=\tfrac{1}{4}\).
\(a_n\): por simetria e pelo valor constante em \((0,\pi)\) obtém‑se \(a_n=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^\pi\cos(nx)\,dx=0\) para todo \(n\).
\(b_n\): \(b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi\tfrac12\sin(nx)\,dx=\dfrac{1}{2\pi n}(1-(-1)^n)\). Assim \(b_n=0\) se \(n\) é par e \(b_n=\dfrac{1}{\pi n}\) se \(n\) é ímpar.
Logo a série fica \( \displaystyle f(x)\sim \tfrac{1}{4}+\dfrac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}\), que é exatamente \( \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{\pi}[\sin x+\tfrac{\sin3x}{3}+\tfrac{\sin5x}{5}+\dots]\).
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