Questão FC236034
Considere a função \(f(t)= \begin{cases}{\large{1 \over c}}, & -c \le t \le c \\0, & caso \, contrário \end{cases}\), onde c é uma constante real positiva. A transformada de Fourie
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Considere a função \(f(t)= \begin{cases}{\large{1 \over c}}, & -c \le t \le c \\0, & caso \, contrário \end{cases}\), onde c é uma constante real positiva.
A transformada de Fourier de f(t), definida por \(Tf(w)={\large{1 \over \sqrt{2 \pi}}} \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{a} e^{-iwt}f(t)dt\), é
- \({\large{1 \over \sqrt{2 \pi}}} {\large{\cos(wc) \over w}}\)
- \({\large{1 \over \sqrt{2 \pi}}}{\large{\sin(wc) \over w}}\)
- \(\sqrt{\large{2 \over \pi}}{\large{\cos(wc) \over wc}}\)
- \(\sqrt{\large{2 \over \pi}}\large{\sin(wc) \over wc}\)
- \(\sqrt{\large{1 \over \pi}} \large{\cos(wc) \over 2w}\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
A função é nula fora de \([-c,c]\), então a transformada de Fourier é
\(Tf(w)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-c}^{c}\dfrac{1}{c}e^{-iwt}\,dt=\dfrac{1}{c\sqrt{2\pi}}\int_{-c}^{c}e^{-iwt}\,dt\).
Integramos diretamente: \(\int_{-c}^{c}e^{-iwt}dt=\left.\dfrac{e^{-iwt}}{-iw}\right|_{-c}^{c}=\dfrac{e^{iwc}-e^{-iwc}}{iw}= \dfrac{2\sin(wc)}{w}\).
Substituindo de volta: \(Tf(w)=\dfrac{1}{c\sqrt{2\pi}}\cdot\dfrac{2\sin(wc)}{w}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\,\dfrac{\sin(wc)}{wc}.\)
Assim obtemos o resultado exibido, que é a forma (normalizada) do sinc multiplicado por constantes de normalização.
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