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Questão FC236035

Analise as afirmativas a seguir sobre a transformada de Fourier, Tf(w), de uma função f(t) absolutamente integrável, real e de variável real. I – Se f(t) for uma função par, a sua

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2011

Analise as afirmativas a seguir sobre a transformada de Fourier, Tf(w), de uma função f(t) absolutamente integrável, real e de variável real.

 

I – Se f(t) for uma função par, a sua transformada Tf(w) será uma função real de variável real.

II – Se f(t) for uma função ímpar, a sua transformada Tf(w) será uma função real de variável real.

III – Se f(t) é uma função diferenciável tal que sua derivada é uma função absolutamente integrável, então Tf´(w)=wTf(w).

 

Está correto o que se afirma em

  1. I, apenas.
  2. I e II, apenas.
  3. I e III, apenas.
  4. II e III, apenas.
  5. I, II e III.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Seja \(f(t)\) real, absolutamente integrável e par, i.e., \(f(t)=f(-t)\). A transformada de Fourier é definida por \(Tf(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iwt}\,dt\).

Separando as partes real e imaginária: \(Tf(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(wt)\,dt - i\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin(wt)\,dt\).

Como \(f(t)\cos(wt)\) é par, sua integral é um valor real; e como \(f(t)\sin(wt)\) é ímpar, sua integral é zero. Portanto \(Tf(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(wt)\,dt\), que é real.

Além disso, pela simetria, a transformada resultante é também par em \(w\), isto é, \(Tf(-w)=Tf(w)\).

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