Um retângulo tem dois vértices sobre o eixo X e dois vértices acima do eixo X sobre o gráfico da função y = 6 − x2, conforme apresentado a seguir. Dentre os valores abaixo, aquele

Gabarito

D

Comentário do professor

Coloque-se \(x\ge0\) como a metade da base do retângulo; a largura é \(2x\) e a altura, pelo gráfico, é \(6-x^2\).

Assim a área é \(A(x)=2x(6-x^2)\).

Para encontrar o ponto de máximo derivamos: \(A'(x)=12-6x^2\). Igualando a zero obtemos \(12-6x^2=0\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\sqrt2\).

Verificando a natureza do ponto, \(A''(x)=-12x\) é negativo em \(x=\sqrt2\), logo é um máximo local (e global no domínio considerado).

A área máxima é \(A(\sqrt2)=2\sqrt2(6-2)=8\sqrt2\approx11{,}3\), que corresponde à alternativa indicada.