A função f de variável real é tal que f(0) = 1, f(1) = 0, e sua segunda derivada é f"(x) = 12x - 8. O valor de f(3) é

Gabarito

B

Comentário do professor

Partimos da segunda derivada dada: \(f''(x)=12x-8\). Para recuperar \(f\) fazemos sucessivas integrações.

Integrando uma vez obtém-se a derivada: \(f'(x)=\int(12x-8)\,dx=6x^2-8x+C_1\).

Integrando novamente surge a função geral: \(f(x)=\int(6x^2-8x+C_1)\,dx=2x^3-4x^2+C_1x+C_2\). Aqui \(C_1,C_2\) são as constantes de integração.

Usando as condições \(f(0)=1\) e \(f(1)=0\): de \(f(0)=1\) vem \(C_2=1\). Em \(f(1)=0\): \(2-4+C_1+1=0\) → \(C_1=1\).

Substituindo em \(f(x)\) e calculando \(f(3)\): \(f(3)=2\cdot3^3-4\cdot3^2+1\cdot3+1=54-36+4=\)\ 22.