A região do plano cartesiano, contida no primeiro quadrante, limitada pela curva y = x3 e pela reta y = 8x tem área igual a

Gabarito

Errado

Comentário do professor

No primeiro quadrante temos \(8x > x^3\) até o ponto em que as curvas se encontram. Para o ponto de intersecção resolvemos \(8x = x^3\), o que dá \(x^2=8\) e, como \(x>0\), \(x=2\sqrt2\).

A área pedida é a integral da diferença entre as funções de \(x=0\) até \(x=2\sqrt2\):
\(A=\displaystyle\int_{0}^{2\sqrt2}(8x-x^3)\,dx\).

Usando a integral das potências: \(\int 8x\,dx=4x^2\) e \(\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}\), obtemos
\(A=\left[4x^2-\frac{x^4}{4}\right]_0^{2\sqrt2}\).

Calculando em \(x=2\sqrt2\): \(4(2\sqrt2)^2- \frac{(2\sqrt2)^4}{4}=4\cdot8-\frac{64}{4}=32-16=\b{16}.\)