Qual o valor de \(\cos(\alpha)\), positivo, para que a segunda derivada da função \(f(\alpha)=\left[ \sin \left( {\large{ \alpha \over 2}} \right) \cos \left( {\large{ \alpha \over

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comece por simplificar \(f(\alpha)=\big[\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\big]^2-\cos\alpha\). Usando \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) obtemos \(\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)=\dfrac{\sin\alpha}{2}\), logo \(f(\alpha)=\dfrac{\sin^2\alpha}{4}-\cos\alpha\).

Calcule a segunda derivada: \(f'(\alpha)=\dfrac{\sin(2\alpha)}{4}+\sin\alpha\) e \(f''(\alpha)=\dfrac{\cos(2\alpha)}{2}+\cos\alpha\).

Impondo \(f''(\alpha)=0\) e multiplicando por 2: \(\cos(2\alpha)+2\cos\alpha=0\). Substituindo \(\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1\) resulta em \(2\cos^2\alpha+2\cos\alpha-1=0\).

Com \(x=\cos\alpha\) resolvemos a quadrática: \(2x^2+2x-1=0\), cuja solução positiva é \(x=\dfrac{-1+\sqrt3}{2}\). Portanto, \(\boxed{\cos\alpha=\dfrac{-1+\sqrt3}{2}}\), valor positivo solicitado.