A imagem de uma transformação linear \(T:R^6 \to R^3\) é o espaço gerado pelos vetores (1, 0, 1), (0, 1, 0) e (1, –1, 1). A dimensão do núcleo de \(T\) é

Gabarito

A

Comentário do professor

Aplicamos o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity). O domínio é \(\mathbb{R}^6\), logo \(dim(U)=6\).

A imagem é gerada pelos vetores \((1,0,1),(0,1,0),(1,-1,1)\). Note que \((1,-1,1)=(1,0,1)-(0,1,0)\), portanto apenas os dois primeiros são linearmente independentes.

Assim \(dim(\text{Im}(T))=2\). Pelo teorema, \(dim(U)=dim(\ker T)+dim(\text{Im}(T))\), ou seja \(6=dim(\ker T)+2\).

Logo a dimensão do núcleo é \(dim(\ker T)=6-2= \)\4.