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Questão FC236044

A imagem do quadrado Q, representado acima na figura à esquerda, por uma transformação linear \(T:R^2 \to R^2\) é o losango L representado na figura à direita. Dentre as matrizes a

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2010

 

A imagem do quadrado Q, representado acima na figura à esquerda, por uma transformação linear \(T:R^2 \to R^2\) é o losango L representado na figura à direita. Dentre as matrizes abaixo, aquela que pode representar T com respeito à base canônica de \(R^2\) é

  1.  \(\begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1/2 & 1/2\end{bmatrix}\)
  2.  \(\begin{bmatrix}1 & 1 \\ -1/2 & -1/2\end{bmatrix}\)
  3.  \(\begin{bmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}\)
  4.  \(\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\)
  5.  \(\begin{bmatrix}1/2 & 1/2 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Representação na base canônica: pela linearidade temos \(T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1)\). Assim, conhecer \(T(1,0)\) e \(T(0,1)\) determina a matriz de \(T\) na base canônica.

Da figura identificamos \(T(1,0)=(1,\tfrac{1}{2})\) e \(T(0,1)=(-1,\tfrac{1}{2})\). Substituindo em \(T(x,y)\) obtém-se \(T(x,y)=x(1,\tfrac{1}{2})+y(-1,\tfrac{1}{2})\).

Escrevendo em coordenadas: \(T(x,y)=(x-y,\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}y)\). Como a matriz na base canônica tem colunas iguais a \(T(1,0)\) e \(T(0,1)\), segue:

\(T=\begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{bmatrix}\).

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