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Questão FC236045

Seja S o subespaço vetorial de \(R^3\) formado por todos os ternos (x, y, z) que são soluções do sistema linear \(\begin{cases}2x+y+3z=0 \\ x-y+2z=0 \end{cases}\) Considere as segu

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2010

Seja S o subespaço vetorial de \(R^3\) formado por todos os ternos (x, y, z) que são soluções do sistema linear

 

\(\begin{cases}2x+y+3z=0 \\ x-y+2z=0 \end{cases}\)

 

Considere as seguintes afirmativas relativas a S:

 

I - S é o espaço gerado pelos vetores (2, 1, 3) e (1, –1, 2);

II - todos os vetores em S são ortogonais ao vetor (2, 1, 3);

III - S tem dimensão 0.

 

Está correto APENAS o que se afirma em

  1. I.
  2. II.
  3. III.
  4. I e II.
  5. II e III.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Afirmativa II é verdadeira. Pela primeira equação do sistema temos \(2x+y+3z=0\), que pode ser lida como o produto escalar \( (2,1,3)\cdot(x,y,z)=0\).

Assim, para todo vetor \((x,y,z)\) pertencente a \(S\) vale \( (2,1,3)\cdot(x,y,z)=0\), o que significa precisamente que esses vetores são ortogonais ao vetor (2,1,3).

De forma alternativa, escrevendo a solução geral como \( (x,y,z)=t\,(1,-\tfrac{1}{5},-\tfrac{3}{5})\) e calculando \((2,1,3)\cdot(1,-\tfrac{1}{5},-\tfrac{3}{5})=2-\tfrac{1}{5}-\tfrac{9}{5}=0\), confirma-se que qualquer múltiplo também é ortogonal.

Geometricamente, a equação \(2x+y+3z=0\) define um plano em \(\mathbb{R}^3\) perpendicular a \((2,1,3)\); portanto todos os vetores solução estão contidos no subespaço ortogonal a esse vetor.

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