O valor de \(\int\limits_{4}^{40} \sqrt{2x+1}\) dx é

Gabarito

B

Comentário do professor

Fazemos a substituição \(u=2x+1\), então \(du=2\,dx\) e \(dx=\dfrac{du}{2}\).

Atualizando os limites: para \(x=4\) tem-se \(u=9\); para \(x=40\) tem-se \(u=81\).

A integral vira \( \int_{4}^{40}\sqrt{2x+1}\,dx = \dfrac{1}{2}\!\int_{9}^{81} u^{1/2}\,du\).

Calculando a primitiva: \(\dfrac{1}{2}\cdot\left[\dfrac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{9}^{81} = \dfrac{1}{3}\big(u^{3/2}\big)\big|_{9}^{81}.\)

Agora avalia: \(81^{3/2}=(\sqrt{81})^3=9^3=729\) e \(9^{3/2}=(\sqrt{9})^3=3^3=27\).

Portanto o valor é \(\dfrac{1}{3}(729-27)=\dfrac{702}{3}=234\).
Resposta: 234