Dada a função \(f:R\) → \(R\) definida por \(f(x)=In(3x+1)\), o valor de \(\lim_{x \to 0} \large{f(2x)-f(0) \over x}\)é

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Calculamos primeiro os valores que aparecem no numerador: f(2x) e f(0). Como \(f(x)=\ln(3x+1)\), tem-se \(f(2x)=\ln(6x+1)\) e \(f(0)=\ln(1)=0\).

Uma via elegante é usar a derivada. Note que, com \(t=2x\),

\(\dfrac{f(2x)-f(0)}{x}=2\cdot\dfrac{f(t)-f(0)}{t}\) com \(t\to0\).

Assim o limite vale \(2\cdot f'(0)\). Calculando a derivada, \(f'(x)=\dfrac{3}{3x+1}\), logo \(f'(0)=3\).

Portanto o limite é \(2\cdot 3=6\).