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Questão FC236050

Um vazamento de óleo se espalha sobre a superfície de um lago formando uma mancha circular. Em determinado instante, a mancha tem um raio de 100 metros, que cresce a uma taxa de va

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2010

Um vazamento de óleo se espalha sobre a superfície de um lago formando uma mancha circular. Em determinado instante, a mancha tem um raio de 100 metros, que cresce a uma taxa de variação instantânea de 10 metros por hora. Usando \(\pi=3\), estima-se que, nesse instante, a área da superfície do lago coberta pela mancha de óleo está crescendo, em m2/h, a uma taxa instantânea igual a

  1. 10
  2. 100
  3. 600
  4. 3.000
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

A mancha é circular, então sua área é \(A=\pi r^2\). Como o raio varia com o tempo, diferenciamos em relação a \(t\).

Aplicando a regra da cadeia obtemos \( \dfrac{dA}{dt}=2\pi r\cdot\dfrac{dr}{dt}\), que dá a taxa instantânea de variação da área em função do raio e da velocidade radial.

No instante dado, \(r=100\) m e \(\dfrac{dr}{dt}=10\) m/h. Tomando \(\pi=3\), substituímos na expressão:

\(\dfrac{dA}{dt}=2\cdot 3\cdot 100\cdot 10=6000\) m2/h.

Portanto, a área coberta pelo óleo está crescendo a 6000 m2/h naquele instante.

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