Questão FC236052
Na figura a seguir, temos as representações gráficas das curvas \(y = x^2\) e \(x^2 + y^2 = 6\). A área da região contida no primeiro quadrante e limitada pelo eixo x e pelas duas
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Na figura a seguir, temos as representações gráficas das curvas \(y = x^2\) e \(x^2 + y^2 = 6\).
A área da região contida no primeiro quadrante e limitada pelo eixo x e pelas duas curvas citadas é
- \(\int\limits_{0}^{2} ( \sqrt{6-y^2}- \sqrt y)dy\)
- \(\int\limits_{0}^{\sqrt 6}(\sqrt{6-x^2}-x^2)dx\)
- \(\int\limits_{0}^{\sqrt 3}x^2 \, dx+ \int\limits_{\sqrt 3}^{\sqrt 6} \sqrt{6-x^2} dx\)
- \(\int\limits_{0}^{3}( \sqrt{6-y^2}+ \sqrt y)dy\)
- \(\int\limits_{0}^{\sqrt 6} \sqrt{6-x^2}\,dx- \int\limits_{0}^{\sqrt 2}x^2 \, dx\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Substituindo \(x^2=y\) na circunferência \(x^2+y^2=6\) obtemos \(y^2+y-6=0\), cujas raízes são \(y=-3\) e \(y=2\). Tomamos a positiva, portanto a interseção no primeiro quadrante ocorre em \(y=2\).
Escrevendo as curvas como funções de \(y\) temos x = \(\sqrt y\) (parábola, ramo direito) e x = \(\sqrt{6-y^2}\) (circunferência, ramo direito). Para cada \(y\in[0,2]\) a abscissa da circunferência é a fronteira direita e a da parábola a fronteira esquerda.
Portanto a área procurada é a integral, em \(y\), do comprimento horizontal da região: \(A=\int_{0}^{2}\big(\sqrt{6-y^2}-\sqrt y\big)\,dy\). Aqui os limites de integração vão de \(y=0\) (eixo x) até \(y=2\) (interseção).
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