A transformação linear \(T:R^3 \to R^3\) associa a cada vetor u de \(R_3\) o produto vetorial a × u, onde a = (1, 0, 1). A matriz de T, com respeito à base canônica de \(R_3\), é

Gabarito

A

Comentário do professor

A transformação linear \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) é dada pelo produto vetorial \(T(u)=\mathbf{a}\times u\) com \(\mathbf{a}=(1,0,1)\). O produto vetorial é linear em cada argumento, então existe uma matriz que representa \(T\) na base canônica.

Usando a fórmula dos componentes: \(\mathbf{a}\times (x,y,z)=(a_2z-a_3y,\;a_3x-a_1z,\;a_1y-a_2x)\). Substituindo \(\mathbf{a}=(1,0,1)\) obtém-se \(\mathbf{a}\times (x,y,z)=(-y,\;x-z,\;y)\).

Da expressão acima decorre diretamente a matriz de \(T\) que transforma \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\) em \(\begin{bmatrix}-y\\x-z\\y\end{bmatrix}\). Assim

\(\displaystyle \begin{bmatrix}0 & -1 & 0\\[2pt] 1 & 0 & -1\\[2pt] 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\).