O gradiente da função \(f(x,y,z)= \sqrt{x^2+y^2+z^2}\) no ponto (0, 0,1) é igual a

Gabarito

B

Comentário do professor

O gradiente de \(f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) é o vetor das derivadas parciais: \(\nabla f=\langle f_x,f_y,f_z\rangle\).

Usando a regra da cadeia para \(f=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}\) obtemos

\(f_x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad f_y=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad f_z=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\).

Avaliar em \((0,0,1)\) implica substituir \(x=0,y=0,z=1\) nas expressões acima.

Logo \(\nabla f(0,0,1)=\left\langle \dfrac{0}{1},\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{1}\right\rangle=(0,0,1)\).

Portanto, o gradiente no ponto dado é (0,0,1).