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Questão FC236056

Com relação à função delta de Dirac, considere as sentenças a seguir. I - \(\delta(t)=0\) se \(t \ne 0\) e \(\delta(0)=∞\) II - \(∫ \delta(t-t_0)f(t)dt=f(t)\) e \(\int\limits_{- ∞}

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2010

Com relação à função delta de Dirac, considere as sentenças a seguir.

 

I - \(\delta(t)=0\) se \(t \ne 0\) e \(\delta(0)=∞\)

 

II - \(∫ \delta(t-t_0)f(t)dt=f(t)\) e \(\int\limits_{- ∞}^{∞}\, \delta(t)dt=1\)

 

III - Se um sinal contínuo xc(t) for modulado pelo trem de impulsos \(s(t)=\sum\limits^{∞}_{n=- ∞} \delta(t-nT)\), onde n é inteiro e T é

o período, então o sinal resultante tem valores de xc(t) nas posições nT e nenhum valor entre estas amostras.

 

É(São) verdadeira(s) a(s) sentença(s)

  1. I, apenas.
  2. II, apenas.
  3. I e II, apenas.
  4. II e III, apenas.
  5. I, II e III.
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Gabarito

A

Comentário do professor

A sentença I expressa a propriedade essencial do impulso unitário ou delta de Dirac: fora da origem ele vale zero, isto é, \(\delta(t)=0\) para \(t\ne0\), e sua ação não é dada por um valor pontual finito, mas pela massa concentrada na origem.

Rigorosamente, \(\delta(t)\) é uma distribuição (não uma função usual): atribuímos-lhe sentido por integrais, com a propriedade fundamental \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1\).

Em termos práticos e de engenharia esta distribuição é frequentemente representada informalmente por “\(\delta(0)=\infty\)” como forma de indicar que toda a área está concentrada em um ponto. Formalmente preferimos dizer que é o limite de sequências de pulsos cada vez mais estreitos cuja integral permanece 1.

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