A integral \(\int\limits_{C}F\), onde F(x,y) = (x2 ,xy3 ) e a curva C é definida pela equação y2 - x = 0 , ligando os pontos (2,2) e (2,-2), é igual a

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A integral de linha de um campo vetorial é dada por \( \int_C F\cdot dr=\int_a^b F(r(t))\cdot r'(t)\,dt\).

Parametrizando a curva \(y^2-x=0\) por \(x=t^2,\;y=t\) obtemos \(r(t)=(t^2,t)\) e \(r'(t)=(2t,1)\).

Substituindo no campo \(F(x,y)=(x^2,xy^3)\) vem \(F(r(t))=(t^4,t^5)\). O produto escalar é \(F(r(t))\cdot r'(t)=2t^5+t^5=3t^5\).

Como os pontos são \((2,2)\) e \((2,-2)\), \(t\) varia simetricamente em \([-2,2]\) (a orientação apenas inverte o sinal). O integrando \(3t^5\) é função ímpar, então \(\int_{-2}^{2}3t^5\,dt=0\).

Portanto, a integral de linha vale 0.