O valor da integral \(\int\limits_{0}^{1} \large{dx \over 1+2x}\) é igual a

Gabarito

B

Comentário do professor

Aplicamos a técnica da substituição. Seja \(u=1+2x\); então \(du=2\,dx\), isto é, \(dx=\dfrac{du}{2}\).

Ao transformar os limites, para \(x=0\) temos \(u=1\) e para \(x=1\) temos \(u=3\). Portanto

\(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{1+2x}=\int_{1}^{3}\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{du}{u}\).

Reconhecendo uma integral de logaritmo natural elementar, obtemos \(\frac{1}{2}\ln u\Big|_{1}^{3}=\frac{1}{2}(\ln 3-\ln 1)\).

Como \(\ln 1=0\), o valor final é \(\boxed{\dfrac{1}{2}\ln 3}\), que corresponde à alternativa correta.