Questão FC236060
Sabendo-se que a transformada de Fourier da função definida por \(y(t)= \begin{cases}1 & \left\vert t \right\vert <1 \\ 0 & \left\vert t \right\vert> 1 \end{cases}\) é igual \(Y(ω)
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Sabendo-se que a transformada de Fourier da função definida por \(y(t)= \begin{cases}1 & \left\vert t \right\vert <1 \\ 0 & \left\vert t \right\vert> 1 \end{cases}\) é igual \(Y(ω)=2 \large{\sin(ω) \over ω}\), a transformada de Fourier da função mostrada na figura acima é
- \(Y(ω)=2 \large{\sin(ω) \over ω}\)
- \(Y(ω)=4 \large{\sin(ω) \over ω}\)
- \(Y(ω)=4 {\large{\sin (ω) \over ω}}e^{-j ω5}\)
- \(Y(ω)=2{\large{\sin(ω) \over ω}}e^{j ω 5}\)
- \(Y(ω)=4 {\large{\sin(ω) \over ω}}e^{-j ω 4}\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Partimos da função de referência \(y_1(t)\) cuja transformada é \(Y_1(ω)=2\frac{\sin ω}{ω}\). A figura mostra um pulso de amplitude 2, largura 2 e centro em \(t=5\), ou seja \(y(t)=2\,y_1(t-5)\).
Aplicando a multiplicação por constante e o deslocamento no tempo: pela linearidade, multiplicar a função por 2 multiplica sua transformada por 2; e deslocar em \(t\) por \(t_0=5\) multiplica a transformada por \(e^{-jω5}\).
Portanto, \(Y(ω)=2\cdot Y_1(ω)\cdot e^{-jω5}=2\cdot\left(2\frac{\sin ω}{ω}\right)e^{-jω5}\).
Resultado: \(Y(ω)=4\frac{\sin ω}{ω}e^{-jω5}\).
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