Questão FC236061
O polinômio de Taylor de grau 3 para \(e^x\), quando \(x \le 0\), é dado por \(e^x=1+x+{\large{x^2 \over 2}}+{\large{x^3 \over 6}}+R_2(x)\), onde \(R_3(x)\) é o resto na forma de L
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
O polinômio de Taylor de grau 3 para \(e^x\), quando \(x \le 0\), é dado por \(e^x=1+x+{\large{x^2 \over 2}}+{\large{x^3 \over 6}}+R_2(x)\), onde \(R_3(x)\) é o resto na forma de Lagrange. Sendo assim, a integral \(\int\limits_{0}^{a}e^{-t^2}dt\) pode ser aproximada por
- \(1-a^2+{\large{a^2 \over 2}}-{\large{a^3 \over 6}}\)
- \(1-a^2+{\large{a^4 \over 2}}-{\large{a^6 \over 6}}\)
- \(1+a^2+{\large{a^2 \over 2}}+{\large{a^3 \over 6}}\)
- \(1+a^2+{\large{a^4 \over 2}}+{\large{a^6 \over 6}}\)
- \(a-{\large{a^3 \over 3}}+{\large{a^5 \over 10}}-{\large{a^7 \over 42}}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Partindo do polinômio de Taylor de grau 3 para \(e^x\): \(e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+R_3(x)\), substituímos \(x=-t^2\).
Obtém-se \(e^{-t^2}\approx 1 - t^2 + \dfrac{t^4}{2\cdot 2} - \dfrac{t^6}{6}\), isto é \(1 - t^2 + \dfrac{t^4}{4} - \dfrac{t^6}{6}\). O resto de Lagrange é desprezado na aproximação.
Aplicando a integração termo a termo em \(\int_0^a e^{-t^2}\,dt\):\newline \(\int_0^a \left(1 - t^2 + \dfrac{t^4}{4} - \dfrac{t^6}{6}\right)dt\).
Usando a regra da potência e avaliando de 0 a \(a\) obtemos:\newline \(\displaystyle a-\dfrac{a^3}{3}+\dfrac{a^5}{10}-\dfrac{a^7}{42}\), que corresponde à alternativa correta.
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