Questão FC236065
A equação diferencial \(4x+{\large{d^2x \over dt^2}}=0\), onde \(x(0)=0\) e \({\large{dx(0) \over dt}}=1\), tem como solução
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
A equação diferencial \(4x+{\large{d^2x \over dt^2}}=0\), onde \(x(0)=0\) e \({\large{dx(0) \over dt}}=1\), tem como solução
- \(2 \sin(t+ \pi/2)\)
- \({\large{1 \over 2}} \sin(2t)\)
- \(2 \, \cos(t+\pi)\)
- \(2 \, \cos(t- \pi)\)
- \(\cos(t + \pi)\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Partindo de \(4x+\dfrac{d^2x}{dt^2}=0\), escrevemos como \(x''+4x=0\). A equação característica é \(r^2+4=0\), com raízes \(r=\pm 2i\).
Por serem complexas, a solução geral é \(x(t)=c_1\cos 2t + c_2\sin 2t\).
Aplicando as condições iniciais: \(x(0)=0\) implica \(c_1=0\), pois \(\cos0=1\) e \(\sin0=0\).
Com \(x(t)=c_2\sin2t\), calculamos a derivada \(x'(t)=2c_2\cos2t\). Usando \(x'(0)=1\) obtemos \(1=2c_2\), logo \(c_2=\tfrac{1}{2}\).
Portanto, a solução que satisfaz as condições iniciais é \(x(t)=\tfrac{1}{2}\sin2t\), correspondente à alternativa correta.
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